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Il reste donc à prouver le cas a = 0 {displaystyle a = 0}. Puisque le cas de base et l`étape inductive ont été exécutés, par induction mathématique, la déclaration P (n) tient pour tous les nombres naturels n. Pour compléter la preuve, l`identité doit être vérifiée dans les deux cas de base n = 0 et n = 1. Voyons ce qui se passe si on affirme que S est non vide. Cependant, la logique de l`étape inductive est incorrecte pour n = 1, parce que l`instruction que «les deux ensembles se chevauchent» est fausse (il n`y a que n + 1 = 2 chevaux avant l`enlèvement, et après enlèvement les ensembles d`un cheval chacun ne se chevauchent pas). C`est, S (j) {displaystyle S (j)} détient. Asadar, conforme principiului inductiei matematice égalitatea DIN enunt este Justa pentru lisse n Natural. Operatii cu matrice, Termen général Monsieur, inductia matematica. Si, d`autre part, P (n) avait été prouvé par induction ordinaire, la preuve serait déjà effectivement une par induction complète: P (0) est prouvé dans le cas de base, en utilisant aucune hypothèse, et P (n + 1) est prouvé dans l`étape inductive, dans lequel on peut supposer tous les cas antérieurs s, mais il suffit d`utiliser le cas P (n). Souvent, il commence par le numéro un, et il peut commencer par n`importe quel nombre naturel, établissant la vérité de la propriété pour tous les nombres naturels supérieurs ou égaux au nombre de départ. FN est le Nème nombre de Fibonacci, φ = (1 + √ 5)/2 (le ratio d`or) et ψ = (1 − √ 5)/2 sont les racines du polynôme x2 − x − 1. C`est une contradiction, puisque n était dans S.

Nota 1. Sa se calculeze razele RN, RN a circumferintelor inscrise si circumscrise poligonului regulat cu 2n laturi de perimetru p. Cela peut être fait comme suit. Une technique itérée opposée, comptant plutôt que vers le haut, se trouve dans le paradoxe sorites, où il a été soutenu que si 1 million grains de sable formé un tas, et en enlevant un grain d`un tas laissé un tas, puis un seul grain de sable (ou même pas de grains) forme un tas. Cela montre que pour ajouter 1 {displaystyle 1} au montant total, quel que soit le montant, pourvu qu`il soit supérieur à 12 {displaystyle 12}, il suffit de supprimer une seule pièce de 4 dollars tout en ajoutant une pièce de 5 dollars. Pour prouver l`étape inductive, l`hypothèse d`induction est que pour une donnée n > 1 la déclaration tient pour tous les plus petits n > 1. L`hypothèse dans l`étape inductive, que la déclaration tient pour quelques n, est appelée l`hypothèse d`induction ou l`hypothèse inductive.